Trigonometria

Trigonometria

A matemática pode ser um problema para muitas pessoas, principalmente no âmbito da geometria. Por isso, nesse artigo iremos falar mais sobre a trigonometria, um dos conteúdos mais recorrentes em provas de concursos e vestibular, e que provavelmente você já deve ter visto em algum momento.

O que é a trigonometria?

A trigonometria é um conteúdo da matemática que visa estudar as relações dos ângulos e do comprimento dos lados de um triângulo, principalmente aquele classificado como retângulo, isto é, onde um dos encontros de suas retas forma um ângulo de 90º.

Como a grande maioria dos conceitos de matemática que são tratados constantemente, a trigonometria é fruto de estudos antigos, começados por grandes mentes pensantes da Antiguidade, que visavam compreender sobre o universo e sobre os mares. Em textos escritos há mais de 3500 anos atrás, é possível encontrar, por exemplo, na tábua babilônica, algumas questões envolvendo cálculos de secante, termo que envolve esse estudo da matemática.

Além disso, as obra Os elementos, de Euclides de Alexandria, também passou vagamente por esses conceitos, mas sem aprofunda-los muito. Dessa forma, o primeiro grande pensador a apresentar obras concretas e completas sobre o estudo da trigonometria foi Hiparco de Niceia, um astrônomo grego que nasceu no ano de 190 antes de Cristo. Em seus escritos, que somam 12 volumes, Hiparco apresentou conceitos de quem conhecia profundamente o assunto, e chegou a elaborar a primeira tabela de trigonometria que se tem registro documentado, o que fez com que este ficasse conhecido nos dias atuais como o “Pai da Trigonometria”.

Pouco tempo depois dos estudos de Hiparco de Niceia, Ptolomeu, que viveu entre os anos 100 e 160 depois de Cristo, também deu grandes contribuições a essa área de estudo da matemática. Ele, que também era grego, calculou os valores do seno dos ângulos de 0 a 90 graus, além ser o responsável por dividir o círculo em 360 graus, o que facilitaria vários estudos e cálculos que seriam feitos posteriormente.

Todos os estudos contribuíram para o que podemos ver hoje como Trigonometria, estudos sobre um triângulo retângulo, que ajuda em várias áreas profissionais atualmente, como a construção civil, estudos sobre astronomia, navegações, construções aeronáuticas e muitas outras áreas do conhecimento.

As funções trigonométricas

As funções trigonométricas podem ser exemplificadas como as relações, passadas como fórmula, entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Como já falado anteriormente, um triângulo retângulo é classificado como uma forma geométrica com 3 lados, onde o encontros de duas dessas retas formam um ângulo de 90 graus.

Essas fórmulas são baseadas nas razões entre dois lados de um triângulo retângulo, que resultam em um ângulo, podendo ser o seno, o cosseno ou a tangente. Por definição, todo triângulo retângulo é classificado como tendo três lados possíveis: a hipotenusa – imutável, é sempre a reta de maior comprimento – e os dois catetos, que podem classificados como opostos ou adjacentes, dependendo do ângulo que está sendo calculado.

Seno:

Tendo um triângulo retângulo como base imagética, podemos definir o seno como sendo a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, de modo que este cateto pode ser definido como a reta que está do lado oposto ao ângulo em questão.

A função trigonométrica para definição do seno é:

Seno = cateto oposto / hipotenusa

(Lê-se: seno é igual ao cateto oposto sobre a hipotenusa).

Cosseno:

Ainda com um triângulo retângulo qualquer como base, podemos definir o cosseno como sendo o resultado da divisão entre o cateto adjacente e a hipotenusa, de forma que este cateto é definido como o lado do triângulo em que o ângulo em questão está inserido.

A função trigonométrica para definição do cosseno é:

Cosseno = cateto adjacente / hipotenusa

(Lê-se: cosseno é igual ao cateto adjacente sobre a hipotenusa).

Tangente:

A tangente pode ser classificada como uma relação existente entre os dois catetos de um triângulo retângulo, de modo que a divisão de um pelo outro resultará no valor da tangente do ângulo em questão.

A função trigonométrica para a definição da tangente é:

Tangente = cateto oposto / cateto adjacente

(Lê-se: tangente é igual ao cateto oposto sobre o cateto adjacente).

O círculo trigonométrico

O círculo trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização das relações existentes entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Além disso, na época em que foi criado, assumiu-se como uma forma de comprovação de que aquelas relações discutidas eram verdadeiras, pelo fato de serem demonstradas de forma diferente e, ainda assim, apresentarem os mesmos resultados.

Essa ferramenta consiste em um círculo perfeito, que possui um raio de valor unitário (1). Esse círculo tem seu centro na origem de dois eixos ortogonais de um plano cartesiano tradicional, de forma que a linha vertical representa o eixo dos senos e a linha na horizontal representa o eixo dos cossenos. No momento onde se tocam, os dois eixos possuem, por convenção, valor igual à zero.

  • Seno: Em um círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer poderá ser observado na projeção do seu raio, mais precisamente sobre a linha vertical. Como o raio desse círculo possui valor unitário (1) e o ponto central do eixo tem valor 0, conclui-se que o valor do seno pode variar desde -1 até 1;
  • Cosseno: Em um círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer poderá ser observado na projeção de seu raio, mais precisamente sobre a linha horizontal. Como já sabemos, o raio deste círculo possui valor unitário (1) e o ponto central do eixo tem valor igual à zero, o que faz com que o valor do cosseno possa variar desde -1 até 1;
  • Tangente: A tangente pode ser classificada com a reta que tangencia o círculo trigonométrico, de forma vertical e em seu lado direito. Desse modo, o eixo da tangente formará um ângulo de 90 graus com o eixo dos cossenos, e será paralelo ao eixo dos senos, de forma que esses dois nunca se encontram. O valor da tangente é definido como o ponto onde a reta formada pela abertura do ângulo em questão toca o eixo da tangente, de modo que o momento que este último corta o eixo dos cossenos, o seu valor é 0. Desse modo, diferentemente do cosseno e do seno, a tangente pode ter tanto valores menores quanto maiores do que 1;

Além disso, outras relações, como o eixo das Cotangentes, podem estar presentes em um círculo trigonométrico. Contudo, esses estudos são ligeiramente mais aprofundados, e não seria proveitoso apresenta-los nesse artigo.

Leis da Trigonometria

Pela teoria Euclidiana, o seno, cosseno e tangente possuem leis próprias, ou seja, aquela relação imposta por esses conceitos irá acontecer todas às vezes, de forma imutável. Essas leis podem ser usadas para qualquer triângulo, não se restringindo apenas aos triângulos retângulos.

Lei dos senos:

A Lei dos Senos estabelece uma relação de igualdade entre três razões. Nesse conceito, concluiu-se que o valor da divisão entre o comprimento de um lado e o seno do lado oposto será sempre igual. Essas relações podem ser descritas pela seguinte fórmula (considere, para essa fórmula, um triângulo de ângulos A, B e C, com lados D, E e F, de forma que D seja oposto ao ângulo A, E seja oposto ao ângulo B e F seja oposto ao ângulo C):

D / senA = E / senB = F / senC

Lei dos cossenos:

A Lei dos Cossenos diz que, em um triângulo qualquer, o quadrado do comprimento de um dos lados poderá ser descrito como a soma dos quadrados dos outros lados, diminuído, pelo dobro do produto entre esses últimos lados e o cosseno do ângulo entre eles.

Para melhor entendimento do leitor, essa lei pode ser colocada em uma fórmula (considere um triângulo de ângulos A, B e C, com lados D, E e F, de modo que o ângulo formado entre os lados D e F sejam A):

D² = E² + F² – 2 x D x F x cosA

Lei das Tangentes:

A Lei das Tangentes se propõe a relacionar o valor das tangentes de dois ângulos de triângulo qualquer e o valor do comprimento dos lados opostos a esses ângulos.

A fórmula dessa lei pode ser descrita por (considere um triângulo de ângulos A, B e C e comprimentos a, b e c):

a + b / a – b = tan[1/2(A + B)] / tan[1/2(A – B)]

Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras foi o resultado de estudos feitos pelo filósofo grego Pitágoras de Samos, datado dos nos 500 antes de Cristo, ou seja, antes mesmo da criação dos estudos em trigonometria. Contudo, esse teorema é muito utilizado para resoluções de problemas relacionadas a essa área da Matemática.

O seu objetivo é provar que, em um triângulo retângulo, a soma do quadrado dos dois catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Por definição, e como já foi falado anteriormente, a hipotenusa é o lado de maior comprimento, oposto ao ângulo de 90 graus, e os catetos são as retas de comprimentos menores.

A fórmula do Teorema de Pitágoras pode ser exprimida por (para esta fórmula, considera que um triângulo retângulo de lados A, B e C, onde a hipotenusa é tida como o lado A):

A² = B² + C²